LTI 系统的时域分析
对于 \(\displaystyle \sum a_n \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}t^n} = C\), 对应特征方程 \(\displaystyle \sum a_ns^n = 0\), 其解 \(s_1, \cdots, s_n\), 得齐次解解 \(\displaystyle y = \sum A_n \mathrm{e}^{s_n t}\), \(A_n\) 由初始条件决定，再代入由 \(C\) 确定特解，最后解为 齐次解 + 特解
利用 LTI 系统的特性
输出响应由两部分组成：
- 初始状态为 0 时、完全由输入信号 \(f(t)\) 决定的系统响应 — 零状态响应 \(y_f(t)\) (强迫响应)
- 输入信号为 0 时、完全由初始状态 \(y^{n}(0-)\) 决定的系统响应 — 零输入响应 \(y_x(t)\) (自由响应)
其中零输入响应能直接通过齐次微分方程求得 (只与初始值有关)，但是零状态响应与变化的 \(f(t)\) 有关，不易求得。因此可以先将 \(f(t)\) 分解后求
在时域中，常用冲激信号作为基本单元信号 — 时域分析方法 (常用卷积，也称卷积法) 在频域/复频域中，使用指数信号作为基本带院信号 — 频域分析方法 (使用傅里叶变换)
利用单位冲激信号的线性组合分解
连续时间系统
先求零状态响应
冲激响应: 冲激信号激励系统时产生的零状态响应，记为 \(h(t)\).
根据定义，\(h(t)\) 满足：
\[ h^{(n)}(t) + a_{n - 1}h^{(n - 1)}(t) + \cdots + a_0h(t) = b_m\delta^{(m)}(t) + \cdots + b_0\delta(t) \]显然 \(t > 0^+\) 时 \(h(t)\) 是其次微分方程的解.
\[ h(t) = \left( \sum_{i=1}^n K_i \, \mathrm{e}^{s_i t} \right) u(t) \]\(n \leq m\) 时, 为使方程两边平衡, \(h(t)\) 应含有冲激及其高阶导数，即
\[ h(t) = \left( \sum_{i=1}^n K_i \, \mathrm{e}^{s_i t} \right) u(t) + \sum_{j=0}^{m-n} A_j \, \delta^{(j)}(t) \]\(h(t)\) 代入配平即可.
由此得
\[ T(f(t)) = y_f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t - \tau)\mathrm{d} \tau = f(t) \otimes h(t) \]零输入响应仅需求解其次微分方程即可
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
定义 \(\displaystyle y(t) = f(t) \otimes h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t - \tau) \mathrm{d} \tau\)
两个方波信号卷积，得到结果为梯形，底边长为方波宽度的和，上边长为方波信号宽度的差
理解： \(\tau\) 作用时刻，\(t\) 观察时刻，积分：所有作用时刻响应的叠加
因果信号中，积分上下限可以换为 \([0, t]\)
有一些性质：
- 交换律 \(\displaystyle f(t) \otimes h(t) h(t) \otimes f(t)\)
可用系统作用 \(f(t)\) 角度理解，同时表明 \(h(t), f(t)\) 均能表示为冲激响应作为系统的描述； LTI 系统级联时可以交换先后顺序
2. 分配律 \(x(t) \otimes (h_1(t) + h_2(t)) = x(t) \otimes h_1(t) + x(t)\otimes h_2(t)\)
并联系统能分别计算并相加
3. 结合律 (公式略) 级联系统的冲激响应等于格构成系统冲激响应的卷积
4. 与奇异信号的卷积 (最好用系统来理解)
- 直连系统 \(x(t) \otimes \delta(t) = x(t)\)
- 延时特性 \(x(t )\otimes \delta (t - T) = x(t - T)\)
- 微分特性 \(x(t) \otimes \delta'(t) = x'(t)\)
- 积分特性 \(\displaystyle x(t) \otimes u(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau) \mathrm{d}\tau\)
5. 一些性质的组合 - \(x'(t) \otimes h(t) = x(t) \otimes h'(t) = y'(t)\)，积分延时等相同.
- 可以先微分成冲激信号再积分方便求得
离散时间系统
零输入响应直接求齐次差分返程即可。
如果初始条件给的是 \(y[0], y[1]\), 需要注意在此时激励信号已经作用了，不能直接用于计算零输入响应！
此时需要重新计算 \(y[-1], y[-2]\) 用于求解零输入响应。
现求零状态响应，使用卷积法。
同样仅需计算单位脉冲 (样值/样本) 响应即可。同样有
\[ f[k] = \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]\delta[k - n] \Rightarrow \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]h[k - n] = f[k] \otimes h[k] \]这里 \(\delta\) 叫单位样值序列
\(h[k]\) 满足:
\[ \sum_{i = 1}^{n}a_i \delta[k - i] = \sum_{i = 1}^{m}b_i h[k - i] \]先计算关于 \(h\) 的齐次差分方程，再由 \(h[k | k \leq -1] = 0\) 得到 \(h[k]\) 的形式。
不过多赘述，和上面卷积积分类似
计算卷积 \(f[k] \otimes h[k]\)时，可以把 \(f[k]\) 写成单位样值序列，在卷积之后把 \(\delta\) 换成 \(h\) 即可。
例子：
\[ \alpha^k u[k] \otimes \beta^k u[k] \]反馈系统的冲激响应和系统特性分析
反馈系统需要列方程求解，但是需要求含有卷积的方程！ –> 频域分析方法 (下次讲)
对一个系统 \(y(t) = a + b \mathrm{e}^{\alpha t} + c \mathrm{e}^{\beta t}\), 有：
- 固有响应为 \(b \mathrm{e}^{\alpha t} + c \mathrm{e}^{\beta t}\)
- 强迫响应为 \(a\)
- 稳态响应为 \(a\) (不随时间衰减到 \(0\))
- 暂态响应为 \(b \mathrm{e}^{\alpha t} + c \mathrm{e}^{\beta t}\) (与上面相反)