Abies的笔记
普通物理学II
数学基础
数学基础
数学基础
算符 nabla：
\[\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\]梯度
标量函数\(f=f(x,y,z)\)的梯度，输入为标量、输出为矢量：
\[\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\]设\(\vec{\nabla}f\)和\(d\vec{l}\)之间的夹角为\(\theta\)，则
\[df=|\vec{\nabla}f||d\vec{l}|\cos\theta,\quad|\vec{\nabla}f|=\frac{df_{max}}{|d\vec{l}|}\]即梯度是导数下降最快的方向。
散度
矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的散度，输入为矢量、输出为标量：
\[\vec{\nabla}\cdot \vec{f}=P_x'+Q_y'+R_z'\]散度表示单位立方体中矢量场线的净流出量（假象立方体，\(P_x'\)表示 x 方向相对的两个面的净流出量，etc.）。散度大于零，表示源；散度小于零，表示汇；散度等于零，表示无源。
散度定理（高斯定理）：
\[\oint_{\tau}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{\tau}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\mathrm{d}\tau\]??? normal-comment “证明”
待补充。
旋度
矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的旋度，输入为矢量、输出为矢量：
\[ \begin{align*} \vec{\nabla}\times \vec{f}&=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{align*} \]??? normal-comment “旋度的几何含义”
*什么是"有旋"？*
首先理解"旋"的概念：
- **有旋**：矢量场有"环绕"或"涡旋"的性质，就像漩涡中的水流
- **无旋**：矢量场没有环绕性质，就像平行直流的水流
- **旋度**：衡量矢量场在某点附近的"旋转强度"
*旋度的物理本质*
旋度实际上衡量的是：**单位面积内矢量场的环流强度**
*数学推导：为什么旋度表示旋转强度*
让我详细解释旋度公式中z分量的含义：
z分量：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$
想象在xy平面上有一个小矩形，边长为$\Delta x$和$\Delta y$：
**1. 沿着矩形边界的环流**
沿矩形边界逆时针方向计算环流：
- **底边**：从$(x, y)$到$(x+\Delta x, y)$，贡献$P(x,y) \cdot \Delta x$
- **右边**：从$(x+\Delta x, y)$到$(x+\Delta x, y+\Delta y)$，贡献$Q(x+\Delta x,y) \cdot \Delta y$
- **顶边**：从$(x+\Delta x, y+\Delta y)$到$(x, y+\Delta y)$，贡献$-P(x,y+\Delta y) \cdot \Delta x$
- **左边**：从$(x, y+\Delta y)$到$(x, y)$，贡献$-Q(x,y) \cdot \Delta y$
**2. 总环流**
$$\Gamma = P(x,y)\Delta x + Q(x+\Delta x,y)\Delta y - P(x,y+\Delta y)\Delta x - Q(x,y)\Delta y$$
**3. 利用泰勒展开**
- $Q(x+\Delta x,y) \approx Q(x,y) + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x$
- $P(x,y+\Delta y) \approx P(x,y) + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y$
代入得：
$$ \Gamma \approx \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y - \frac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x \Delta y$$
**4. 单位面积的环流（旋度的z分量）**
$$(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\Gamma}{\Delta x \Delta y} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$
*为什么旋度不为零表示有旋？*
**核心理解**：旋度衡量的是**环流密度**
- **旋度 ≠ 0**：净环流 ≠ 0 → 存在旋转趋势 → **有旋**
- **旋度 = 0**：净环流 = 0 → 无旋转趋势 → **无旋**
*具体例子*
例子1：纯旋转场（有旋）
$$\vec{f} = (-y, x, 0)$$
计算z分量：
$$(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$
这表示绕z轴逆时针旋转，旋度不为零，所以有旋。
例子2：径向场（无旋）
$$\vec{f} = (x, y, 0)$$
计算z分量：
$$(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0$$
这是从原点向外发散的场，虽然不是平行流，但没有旋转，所以无旋。
例子3：剪切流（有旋）
$$\vec{f} = (y, 0, 0)$$
计算z分量：
$$(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 0 - 1 = -1$$
旋度定理（斯托克斯定理）：
\[\oint_C\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]??? normal-comment “证明”
待补充。
拉普拉斯算子
标量函数\(f=f(x,y,z)\)作用给拉普拉斯算子：
\[ \begin{align*} \Delta f&=\nabla\cdot\nabla f \\ &=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot(f_x',f_y',f_z') \\ &=f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}'' \end{align*} \]微分方程
y’+ay=0
将 \(y'\) 化为 \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\)，分离变量，通解为：
\[y=Ce^{-ax}\]y’’+ay=0
令 \(a=\omega^2\)，通解为 \(y=C_1\sin(\omega x)+C_2\cos(\omega x)\).
ay’’+by’+cy=0
令 \(\Delta =b^2-4ac\)，通解为：
- \(\Delta >0,\, \lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，则 \(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)；
- \(\Delta=0,\, \lambda=-\frac{b}{2a}\)，则 \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)；
- \(\Delta <0,\, \lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)，则 \(y=e^{\alpha x}(C_1\sin(\beta x)+C_2\cos(\beta x))\).
特解
当微分方程等式右边非零时，需要化为通解+特解的形式。
| 非齐次项 \(g(x)\) 的形式 | 应猜测的特解 \(y_p(x)\) | 备注 |
|---|---|---|
| 常数 \(C\) | \(A\) | \(A\) 为常数 |
| 多项式：\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) | \(A_0 + A_1 x + \cdots + A_n x^n\) | 同阶多项式 |
| \(e^{kx}\) | \(A e^{kx}\) | 若 \(k\) 为特征根，需乘 \(x\) |
| 多项式 × \(e^{kx}\) | (多项式) × \(e^{kx}\) | 同上，若共振需乘 \(x\) |
| \(\sin(\omega x)\), \(\cos(\omega x\)) | \(A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x)\) | 一对一起猜 |
| \(e^{kx} \sin(\omega x), e^{kx} \cos(\omega x)\) | \(e^{kx} (A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x))\) | 振荡指数型 |
| 多项式 × \(\sin(\omega x)\) 或 \(\cos(\omega x)\) | 多项式 × \((A \sin(\omega x) + B\cos(\omega x))\) | 同阶多项式 |
英语！
基本物理量与场
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| electric field | 电场 |
| magnetic field | 磁场 |
| electric flux | 电通量 |
| magnetic flux | 磁通量 |
| electric potential | 电势 |
| potential difference | 电势差 |
| permittivity | 介电常数、介电率 |
| relative permittivity | 相对介电常数 |
| permeability | 磁导率 |
| relative permeability | 相对磁导率 |
| conductivity | 电导率 |
| charge density | 电荷密度 |
| current density | 电流密度 |
| displacement current | 位移电流 |
| polarization | 极化 |
| magnetization | 磁化 |
麦克斯韦方程组相关
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| Gauss’s law (electric) | 电场高斯定律 |
| Gauss’s law (magnetic) | 磁场高斯定律 |
| Faraday’s law | 法拉第电磁感应定律 |
| Ampère’s law | 安培环路定律 |
| Maxwell’s equations | 麦克斯韦方程组 |
| integral form | 积分形式 |
| differential form | 微分形式 |
| boundary conditions | 边界条件 |
| tangential component | 切向分量 |
| normal component | 法向分量 |
| continuity condition | 连续性条件 |
材料与介质
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| dielectric | 电介质 |
| conductor | 导体 |
| insulator | 绝缘体 |
| perfect conductor | 理想导体 |
| perfect dielectric | 理想电介质 |
| ferromagnetic material | 铁磁材料 |
| paramagnetic material | 顺磁材料 |
| diamagnetic material | 抗磁材料 |
波与传播
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| electromagnetic wave | 电磁波 |
| wave equation | 波动方程 |
| plane wave | 平面波 |
| transverse wave | 横波 |
| phase velocity | 相速度 |
| group velocity | 群速度 |
| wavelength | 波长 |
| frequency | 频率 |
| reflection | 反射 |
| refraction | 折射 |
| transmission | 透射 |
| Snell’s law | 斯涅尔定律 |
能量与功率
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| Poynting vector | 波印廷矢量 |
| electromagnetic energy | 电磁能 |
| power flow | 功率流 |
| energy density | 能量密度 |
电路与相关概念
| English Term | 中文翻译 |
|---|---|
| capacitance | 电容 |
| inductance | 电感 |
| impedance | 阻抗 |
| reactance | 电抗 |
| resistance | 电阻 |
| resonant frequency | 共振频率 |
常见符号
| Symbol | English Term | 中文翻译 |
|---|---|---|
| E | electric field | 电场强度 |
| D | electric displacement | 电位移 |
| B | magnetic flux density | 磁感应强度 |
| H | magnetic field strength | 磁场强度 |
| ρ | charge density | 电荷密度 |
| J | current density | 电流密度 |
| ε | permittivity | 介电常数 |
| μ | permeability | 磁导率 |
| σ | conductivity | 电导率 |