射影几何

• 欧氏几何中的平面直线：\(ax + by + c = 0\)

  • 多个方程对应同一条直线： \((ka)x + (kb)y + kc = 0, \forall k \neq 0\)

• 平面直线的齐次表示：\((a, b, c)^T \sim k(a, b, c)^T\)

• 欧氏几何中的平面点：\(\mathbf{x} = (x, y)^T\)

• 点的齐次表示：

\[ \mathbf{x} = (x, y, 1)^T \quad (x, y, 1)^T \sim k(x, y, 1)^T, \forall k \neq 0 \]

• 齐次坐标\((x_1, x_2, x_3)^T\)，但只有 2 个自由度 (2DOF)

• 点在直线上：\(\mathbf{x}\)在直线\(l\)上当且仅当：

\[ \mathbf{x}^T l = (x, y, 1)(a, b, c)^T = ax + by + c = 0 \]

• 两条直线\(l\)和\(l'\)的交点：

\[ \mathbf{x} = l \times l' \]

平行直线叉乘，最后一位为 0，表示无穷远点。
所有无穷远点排成一条直线，称为无穷远线。

• 过两点\(\mathbf{x}\)和\(\mathbf{x}'\)的直线：

\[ l = \mathbf{x} \times \mathbf{x}' \]

• 二次曲线 (Conics)

平面上由二阶方程描述的曲线：

\[ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \]

或齐次化形式：

\[ x \mapsto \frac{x_1}{x_3}, \quad y \mapsto \frac{x_2}{x_3} \]\[ ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1x_3 + ex_2x_3 + fx_3^2 = 0 \]

或矩阵形式：

\[ \mathbf{x}^T \mathbf{C} \mathbf{x} = 0 \quad \text{其中} \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} a & b/2 & d/2 \\ b/2 & c & e/2 \\ d/2 & e/2 & f \end{bmatrix} \]

系数构成六维向量\({a,b,c,d,e,f}\)，由于只考虑比值，自由度为 5。

• 五点定义一个圆锥曲线

对于每个点，圆锥曲线经过：

\[ ax_i^2 + bx_iy_i + cy_i^2 + dx_i + ey_i + f = 0 \]

或

\[ \begin{pmatrix} x_i^2 & x_iy_i & y_i^2 & x_i & y_i & 1 \end{pmatrix} \mathbf{c} = 0, \quad \mathbf{c} = (a, b, c, d, e, f)^\top \]

堆叠约束条件得到：

\[ \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \\ \end{bmatrix} \mathbf{c} = 0 \]

射影变换

射影变换定义

射影变换是从 \(P^2\) 到其自身的可逆映射 \(h\)，满足：三个点 \(x_1, x_2, x_3\) 共线当且仅当 \(h(x_1), h(x_2), h(x_3)\) 也共线。

一个映射 \(h: P^2 \to P^2\) 是射影变换，当且仅当存在一个非奇异的 \(3 \times 3\) 矩阵 \(H\)，使得对于任何由向量 \(x\) 表示的 \(P^2\) 中的点，都有 \(h(x) = Hx\) 成立。

射影变换 (Projective transformation)

\[ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \mathbf{x'} = \mathbf{H} \mathbf{x} \]

变换的层次结构：

1. 射影线性群 (Projective linear group)
2. 仿射群 (Affine group) —— 最后一行是 [0, 0, 1]
3. 欧几里得群 (Euclidean group) —— 左上角 2x2 子矩阵为正交矩阵
4. 定向欧几里得群 (Oriented Euclidean group) —— 左上角 2x2 子矩阵行列式为 1

射影变换只保留直线，仿射中还保留平行、欧几里得变换还保留角度

相似形：经过相似变换（放缩、旋转、平移）后得到的图形
射影变换可以分解为相似变换和切变的组合

无穷远线

\[ l_\infty' = \mathbf{H}^{-T} l_\infty = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^T & \mathbf{0} \\ -\mathbf{A}^T \mathbf{t} & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = l_\infty \]

无穷远线 \(l_\infty\) 在射影变换 \(\mathbf{H}\) 下保持不变，当且仅当 \(\mathbf{H}\) 是一个仿射变换。